Universität Hohenheim
 

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Li, Xianjun

SIA matrices and non-negative stationary subdivision

SIA-Matrizen und nicht-negative stationäre Subdivision

(Übersetzungstitel)

Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:100-opus-7357
URL: http://opus.uni-hohenheim.de/volltexte/2012/735/


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SWD-Schlagwörter: Matrix <Mathematik> , Unterabteilung
Freie Schlagwörter (Deutsch): Subdivision , nicht-negativer Maske , stochastische Matrix , SIA Matrix
Freie Schlagwörter (Englisch): Subdivision , non-negative mask , stochastic matrix , SIA matrix
Institut: Institut für Angewandte Mathematik und Statistik
Fakultät: Fakultät Naturwissenschaften
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Jetter, Kurt
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 21.06.2012
Erstellungsjahr: 2012
Publikationsdatum: 09.08.2012
 
Lizenz: Creative Commons-Lizenzvertrag Dieser Inhalt ist unter einer Creative Commons-Lizenz lizenziert.
 
Kurzfassung auf Englisch: This dissertation is concerned with SIA matrices and non-negative stationary subdivision, and is organized as follows: After an introducing chapter where some basic notation is given we describe, in Chapter 3, how non-negative subdivision is connected to a corresponding non-homogenous Markov process. The family of matrices A, built from the mask of the subdivision scheme, is introduced. Among other results, Lemma 3.1 and Lemma 3.2 relate the coefficients of the iterated masks to matrix products from the family A, and in the limiting case the values of the basic limit function are found from the entries in an infinite product of matrices.
Chapter 4 and Chapter 5 are the core of this dissertation. In Chapter 4, we first review some spectral and graph properties of row-stochastic matrices and, in particular, of SIA matrices. We point to the notion of scrambling power, introduced by Hajnal [16], and of the related coefficient of ergodicity. We also consider the directed graph of such matrices, and we improve upon a condition given by Ren and Beard in [30]. Then we study finite families of SIA matrices, the properties of their indicator matrices and the connectivity of their directed graphs. We consider this chapter to be an important contribution to the theory of non-negative subdivision, since it explains the background in order to apply the convergence result of Anthonisse and Tijms [2], which we reprove in Section 4.6, to rank one convergence of infinite products of row stochastic matrices. It does not use the notion of joint spectral radius but the (equivalent) coefficient of ergodicity. Properties equivalent to SIA are listed in Lemma 4.7 and in the subsequent Lemma 4.8; they connect the SIA property to equivalent conditions (scrambling property, positive column property) as they appear in the existing literature dealing with convergence of non-negative subdivision.
The fifth chapter of the dissertation contains the full proof of the characterization of uniform convergence for non-negative subdivision, for the univariate and bivariate case, the latter one being a representative for multivariate aspects. It uses the pointwise definition of the limit function at dyadic points - refering to the dyadic expansion of real vectors from the unit cube - using the Anthonisse-Tijms pointwise convergence result, and employs the proper extension of the Micchelli-Prautzsch compatibility condition to the multivariate case, taking care of the ambiguity of representation of dyadic points. As a consequence, the Hölder exponent of the basic limit function can be expressed in terms of the coefficient of ergodicity of the family A. Our convergence theorems, in Theorem 5.1 and Theorem 5.8, include the existing characterizations of uniform convergence for non-negative univariate and bivariate subdivision from the literature, except for the GCD condition, which seems to be a condition applicable to univariate subdivision only.
Chapter 5 also reports on some further attempts where we have tried to extend conditions from univariate subdivision, which are sufficient for convergence, to the bivariate case. We could find a bivariate analogue of Melkman's univariate string condition, which we call - in the bivariate case - a rectangular string condition. The chapter concludes with stating the fact that uniform convergence of non-negative stationary subdivision is a property of the support of the mask alone, modulo some apparent necessary conditions such as the sum rules. A typical application of this support property characterizes uniform convergence in the case where the mask is a convex combination of other masks.
The dissertation ends with two short chapters on tensor product and box spline subdivision, and an appendix where some definitions and useful lemmas and theorems about matrix and graph theory are stated without proofs.
 
Kurzfassung auf Deutsch: Die Dissertation behandelt den Zusammenhang zwischen SIA-Matrizen und nicht-negativer Subdivision. Sie ist folgendermaßen aufgebaut: Nach einem einleitenden Kapitel wird in Kapitel 2 die grundlegende Notation bereit gestellt. Anschließend beschreiben wir in Kapitel 3 zunächst den formalen Zusammenhang zwischen nicht-negativer Subdivision und einem hierzu gehörenden Markov-Prozess. Wir führen dazu eine Familie A von Matrizen ein, die aus der Maske des Subdivisionsschemas aufgebaut werden. Unter anderem beschreiben Lemma 3.1 and Lemma 3.2, wie die Koeffizienten der iterierten Masken sich durch Matrix-Produkte aus der Familie A deuten lassen. Im Grenzfall ergeben sich so die Funktionswerte der Fundamentalfunktion des Subdivisionsprozesses aus den Einträgen eines unendlichen Matrix-Produktes.
Die Kapitel 4 und 5 stellen den zentralen Beitrag dieser Dissertation dar. Zunächst geben wir dort einen Überblick über Spektraleigenschaften von zeilenstochastischen Matrizen und Eigenschaften ihrer gerichteten Graphen, wobei die SIA-Eigenschaft wieder im Vordergrund steht. Wir verweisen auf den Begriff der 'scrambling power', eingeführt von Hajnal [16], und den zugehörigen ergodischen Koeffizienten. Hinsichtlich der Eigenschaften gerichteter Graphen von SIA-Matrizen verbessern wir eine Aussage von Ren und Beard [30]. Anschließend studieren wir Familien von SIA-Matrizen, deren Indikator-Matrizen und die Zusammenhangseigenschaften der betreffenden gerichteten Graphen. Wir glauben, dass dies einen wichtigen Beitrag zur Theorie nicht-negativer Subdivision darstellt, weil dieser Hintergrund nunmehr eine Anwendung des Konvergenzsatzes von Anthonisse und Tijms [2] zulässt. Diesen Konvergenzsatz greifen wir in Abschnitt 4.6 auf. Er beschreibt die Rang-Eins-Konvergenz ohne Bezug auf den 'joint spectral radius', sondern verwendet hierzu den (äquivalenten) Begriff des ergodischen Koeffizienten. Eine Reihe von Eigenschaften, die zur SIA-Eigenschaft äquivalent sind, werden in Lemma 4.7 und dem anschlieÿenden Lemma 4.8 aufgelistet; diese nehmen Bezug auf Eigenschaften (scrambling property, positive column property), wie sie in der bisherigen Literatur zur Konvergenz nicht-negativer Subdivision auftauchen.
Kapitel 5 enthält einen vollständigen Beweis der Charakterisierung gleichmäßiger Konvergenz für nicht-negative Subdivision, im Fall einer und zweier Veränderlichen, wobei letzterer Fall repräsentativ ist für den Fall mehrerer Variablen. Er benutzt die punktweise Definition der Grenzfunktion in dyadischen Punkten - wobei auf die Binärentwicklung reeller Vektoren aus dem Einheitswürfel Bezug genommen wird - unter Bezug auf den Konvergenzsatz von Anthonisse-Tijms. Eine geeignete Verallgemeinerung der Kompatibilitätsbedingung von Micchelli und Prautzsch berücksichtigt hierbei die Mehrdeutigkeit der Binärentwicklung in dyadischen Punkten. Als Folge hiervon lässt sich der Hölder Exponent der Fundamentalfunktion durch den ergodischen Koeffizienten der Familie A ausdrücken. Unsere Ergebnisse zur Konvergenz, in Theorem 5.1 und Theorem 5.8, fassen die existierenden Ergebnisse zur nicht-negativen Subdivision zusammen. Ausgenommen ist hiervon die GCD-Bedingung, die offensichtlich einen Spezialfall darstellt, der sich auf den Fall einer einzigen Variablen bezieht.
Kapitel 5 enthält auch einige Ansätze zu unserem Versuch, hinreichende Bedingungen zur gleichmäßigen Konvergenz, die im Fall einer Variablen bekannt sind, auf den Fall zweier oder mehrerer Variablen zu verallgemeinern. Ein Analogon zu Melkmans [27] univariater 'string condition' ist unsere 'rectangular string condition' für den bivariaten Fall. Das Kapitel schließt mit einem Hinweis auf die Tatsache, dass die Eigenschaft der gleichmäßigen Konvergenz tatsächlich allein eine Trägereigenschaft der Maske ist, modulo offensichtlicher notwendiger Zusatzeigenschaften wie z. B. die 'sum rule'. Eine typische Anwendung dieser Trägereigenschaft liefert die Charakterisierung der gleichmäßigen Konvergenz bei Masken, die sich als Konvexkombinationen einfacherer Masken deuten lassen.
Die Dissertation schließt mit zwei kurzen Kapiteln zur Tensorprodukt- und zur Box-Spline-Subdivision, sowie einem Anhang, in dem Definitionen und nützliche Hilfsergebnisse und Theoreme zur Theorie von Matrizen und deren Graphen ohne Beweise aufgeführt sind.

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